Sorry, ich verstehe nicht, in welcher Richtung ihr unterwegs sein wollt.

Ich gehe davon aus von der Quelle flussabwärts. Prinzipiell ab Oberwald oder halt Brig.
Das sind drei verschiedene Dinge und unterschiedliche Landschaftselemente, die ggf. rausfallen. Quelle heißt Rhonegletscher an der Furkapassstraße oberhalb Gletsch, Oberwald ist die letzte Bahnstation vor dem Tunnel nach Realp auf der anderen Seite vom Furkapass und Brig quasi der Beginn vom fast flachen und dicht besiedeltem Rhonetal und somit komplett ohne das recht eigenständige Goms. Es gibt auch noch ein einsam gelegenes Hotel Rhonequelle zwischen Gletsch und Oberwald, das hat aber eigentlich mit der Rhonequelle als solche nichts zu tun.
Ich hatte die Anfrage nicht genau gelesen, da steht ja Oberwald als Start. Da heißt die Antwort ganz klar, Anfang Juni liegt da ziemlich sicher kein Schnee mehr und auf der Straße schon gar nicht, da wird auch im Winter geräumt. Der Eurovelo 17 (Via Rhona plus) und damit die komplette Rhoneberadlung beginnt eigentlich in Andermatt mit Furkapassquerung, die Via Rhona im engeren Sinne erst in Frankeich, maßgeblich in Genf - deswegen meine Verwirrung. Wenn man den Passanstieg zum Furka als zu schwer erachtet, sollte man zumindest sich bemühen, einen Postbus zum Furkapass zu nehmen, um das Erlebnis Rhonegletscher einzubauen. Wird nicht mehr lange existieren. Die Kehren oben mit Gipfelpanorama ist auch klasse, in Oberwald ist schon wieder ganz andere Landschaft.